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Mathematique

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correction exercice optique Miroirs et dioptres sphériques






Nouvelle page 3




Miroirs et dioptres sphériques


 


Vérifications des connaissances : 


On remarquera que les notations
diffèrent de celles utilisées dans le cours. En effet, l’indice du milieu de
la face d’entrée est n et l’indice du milieu de la face de sortie est n’.
La formule de conjugaison du cours :

 devient

.





La vergence est par définition

.


Sur la figure

. Le dioptre est convergent si V>0 et donc si n>n’.


Le foyer image est F’ : c’est l’image réelle
d’un point à l’infini sur l’axe, c’est à dire d’un point qui envoie
des rayons parallèles à l’axe optique.


Quand les foyers image et objet et le centre d’un dioptre
sont donnés on peut tracer 3 rayons connus :


§        
Le rayon issu de B et parallèle à l’axe optique émerge du
dioptre en coupant l’axe optique au foyer image du dioptre.


§        
Le rayon issu de B passant par le foyer objet du dioptre émerge
du dioptre en étant parallèle à l’axe optique.


§        
Le rayon issu de B et passant par le centre du dioptre émerge du
dioptre en ne changeant pas de direction.


Les 3 rayons tracés se coupent en un même point
(conditions de Gauss), ce point est l’image de B par le dioptre. Un petit
objet plan perpendiculaire à l’axe optique du dioptre donne une image, elle
aussi, perpendiculaire à l’axe optique : l’image de A est donc à
l’intersection de l’axe optique et de sa perpendiculaire passant par B.


Nous nous plaçons dans le cadre de l’approximation de
Gauss ( angles faibles autour de l’axe optique), nous pouvons sur la figure
assimiler la trace de la face courbe du dioptre à celle de son plan tangent
(segment de droite aux 2 brisures indiquant le sens de la courbure).


De plus, le rayon issu de B passant par S fait un angle par
rapport à l’axe optique, ce rayon émerge du dioptre en passant par le point
B’ et en faisant un angle i’ par rapport à l’axe optique.


 






 


N.B. : Sur la figure, pour qu’elle soit lisible, on
a dilaté les dimensions perpendiculairement à l’axe optique. Sur cette
figure les angles que forment les rayons avec l’axe optique sont donc beaucoup
plus grands qu’en réalité. On peut donc utiliser les approximations

 et

 pour le raisonnement.


Formules de conjugaisons:



 

Les rayons envoyés sur le dioptre par
l’objet A arrivent dans le milieu d’indice n.


Les rayons qui contribuent à la formation de
l’image A’ de A émergent dans le milieu d’indice n’.



§        
Origine au sommet :


§        
Origine au centre :


 


Formules de grandissement :


§        
Origine au sommet




 et



comme nous considérons l’approximation de Gauss

 et

 

donc

 et

.


De plus grâce aux lois de Descartes, nous pouvons écrire



mais pour les mêmes raisons :

 et



nous obtenons donc :

.


Soit

 et finalement :


 


§        
Origine au centre


D’après le théorème de Thalès dans les triangles CAB
et CA’B’, nous pouvons écrire :





§        
Origine aux foyers




 et

 

d’après le théorème de Thalès
dans les triangles A’B’F’ et F’SI nous pouvons écrire :

.




 et

 

d’après le théorème de Thalès
dans les triangles ABF et FSJ nous pouvons écrire :

.


On en déduit la formule de Newton :


1er Cas :

, l’objet est réel et l’image est réelle.






2ème cas :

, l’objet est réel, l’image est virtuelle :






 


3ème cas :

, l’objet est virtuel, l’image est réelle:








Exercice 2 : Dioptre sphérique


1. Position des foyers du dioptre













 

 


La formule de conjugaison d’un dioptre sphérique avec
origine au sommet est :

 (1).


Si l’image se trouve en F’, foyer image du dioptre,
l’objet est positionné en

 :

 et

. Soit, en remplaçant dans l’équation (1) :

.


De la même manière, si l’objet se trouve en F, foyer
objet du dioptre, l’image est positionnée en

 :

 et

. Soit, en remplaçant dans l’équation (1) :

.


Application Numérique :

 et

.


 


2. Position de AB et A’B’


La formule de grandissement avec origine au sommet est :


 (2).


De l’équation (2), on a :

 d’où en inversant cette équation


 (3).


A partir de l’équation (1), on obtient

 et en remplaçant ceci dans l’équation
(3), on obtient

 soit

 d’où

.


De la même manière on obtient :

.


Application numérique :

 et


 


3. Marche d’un faisceau lumineux


 






 


A est le milieu de FS. L’image A’B’ est virtuelle.


 


Exercice 3 :


 





  1. Par
    définition, le foyer objet et le foyer image d’un miroir sont confondus,
    et si on choisit le sens de la lumière comme sens positif :

    = - 0,5 m

  2. Si
    on utilise par exemple la formule de conjugaison avec l’origine au foyer 


    .

    = - 4,5 m ,

     = +0,5 m, 
    on trouve

    = - 0,056 m. On trouve que l’objet et l’image se trouvent du même côté
    du foyer.



  3. . L’image est renversée par rapport à l’objet.

  4. Les
    trois rayon possibles sont :


- celui qui passe par le centre et n’est pas dévié,


-
Le rayon parallèle à CS qui
passe par F après réflexion,


- Le rayon qui passe par F’ et
qui est parallèle à CS après réflexion.


Voir figure ci dessus.


 


Exercice 4 : Rétroviseur


 






En prenant le sommet S comme origine, on a :


 




 or,

= - 10 m et

=

 donc

 1 m donc de la relation de
conjugaison, on tire 

 = 2,22 m.


Le miroir est convexe de rayon R= 2,22 m.


 


Exercice 5 : Association de dioptres sphériques.


Formule de conjugaison avec origine au sommet du premier dioptre :
(1).


Formule de conjugaison avec origine au sommet du second
dioptre :

(2).


En additionnant (1) et (2), on obtient :

 (3), formule de conjugaison du système
optique complet avec origine en S.


Formule de grandissement avec origine au sommet du premier
dioptre :


Formule de grandissement avec origine au sommet du second
dioptre :


Formule de grandissement avec origine au sommet du système
optique complet :

(4).


Les équations (3) et (4) sont les équations d’un
dioptre de rayon SC tel que :

 soit

.


La formule de conjugaison du système optique complet est
donc :

(5).


Si l’objet est positionné à

 (

), l’image sera positionnée au foyer image du système (

), on obtient :

.


De la même manière, si l’image est positionnée à

 (

), l’objet sera positionné au foyer objet du système (

) ; on obtient :

.


Le rapport des distances focales est donc

.


 


2) Si

, on trouve

,



 et

.


D’après l’équation (5), on a

 d’où

.





 


3)


 






 


4) On retrouve la
« formule » des lentilles minces. L’étudiant vérifiera que

 est donné par



 alors même qu’il n’y a évidemment
plus de dioptre équivalent puisque n2=n1 et