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6. Quelques éléments




6. Quelques éléments






Nous allons ici présenter complètement un certain nombre d'éléments, pour permettre une meilleur compréhension de la méthode par éléments finis et de ces résultats. Pour pouvoir assembler des matrices de rigidité élémentaire il faut pouvoir les expliciter, c'est ce que nous allons faire maintenant. Nous rappelons que dans un maillage il est possible d'utiliser uniquement des éléments ayant les même degrés d'interpolation pour la géométrie et pour les déplacements.



6.1. Elément 1-D


6.1.1. Barre à champ linéaire (2 noeuds)


C'est l'élément le plus simple : il est composé de deux noeuds ayant chacun 1 ddl. L'interpolation des déplacements sur l'élément est linéaire. Cet élément est utilisé pour traiter les problèmes de traction-compression dans une barre.


[fig]

En utilisant les notations classiques

[fig]

[fig]
qi est le déplacement du noeud i dans le repère lié à la barre. Il est facile de déterminer les fonctions Ni(x) à partir des relations suivantes :


[fig]

[fig]

L est la longueur de l'élément considéré. Il apparaît donc que les fonctions de base ainsi définies dépendent de l'élément. Cette dépendance rend difficilement programmable de tel fonctions, à chaque longueur d'élément correspond deux fonctions de base. Ce problème est résolu en utilisant un élément de référence :


[fig]

r est la coordonnée intrinsèque de l'élément de référence. Il est simple de passer de l'élément de référence à l'élément réel à l'aide du changement de variable suivant :


[fig]

où les Gi sont appelées les fonctions d'interpolation géométrique. Il suffit alors de faire ce changement de variable dans les fonctions d'interpolation des déplacements, Ni(x) pour obtenir :

[fig]

Dans ce cas particulier les deux couples de fonctions sont identiques, c'est pourquoi on parle d'élément Isoparamétrique. L'interpolation en déplacement est la même que l'interpolation géométrique. Calculons l'énergie de déformation sur l'élément de référence :


[fig]

[fig]

On peut maintenant calculer la matrice de rigidité élémentaire de l'élément de référence, en reprenant les notations classiques :

[fig]

;[fig]

et donc la matrice de rigidité élémentaire


[fig]

[fig]

A ce stade nous pouvons faire deux remarques : Les matrices de rigidités élémentaires se déduisent de la matrice de rigidité élémentaire de référence. Il suffit de calcule une fois cette matrice pour tous les éléments Comme l'interpolation des déplacements est linéaire, les contraintes et les déformations sont constantes sur l'élément. Cet élément ne sera donc vraiment efficace que si le gradient de déformation est faible. Il donne une solution exacte dans le cas d'une force appliquée à l'extrémité de l'élément.


6.1.2. Barre à champ quadratique (3noeuds)


Cet l'élément est composé de trois noeuds ayant chacun 1 ddl et l'interpolation des déplacements sur l'élément est quadratique. Cet élément est utilisé pour traiter les problèmes de traction-compression dans une barre.


[fig] [fig]

En utilisant les notations classiques [fig][fig]

qi est le déplacement du noeud i dans le repère lié à la barre. Il est facile de déterminer les fonctions Ni(r) à partir des relations suivantes : [fig]


et donc

[fig]

Les fonctions d'interpolation géométrique Gi sont inchangées :

[fig]

Dans ce cas les deux couples de fonctions sont différentes. Calculons l'énergie de déformation sur l'élément de référence :


[fig]; [fig]

On peut maintenant calculer la matrice de rigidité élémentaire de l'élément de référence, en reprenant les notations classique : [fig]

et donc la matrice de rigidité élémentaire

[fig]


[fig]

[fig]

RQ : Les intégrations se font entre 1 et -1, on peut donc calculer ces intégrales à l'aide des méthodes classique d'intégration numérique (Gauss ou Newton-Cotes). Il faut utiliser deux points de gauss pour obtenir une intégration exacte. On peut également faire une intégration réduite, en utilisant un seul point. La méthode des éléments finis ayant une tendance à surestimer la raideur d'une structure, l'utilisation d'éléments à intégration réduite permet de compenser ce travers. Aussi pour faire un premier calcul sur une structure il est conseillé d'utiliser peut d'éléments mais à intégration réduite.


6.1.3. Barre à 2 noeuds et 4 ddl


Dans les problèmes de flexion, il est nécessaire de satisfaire les conditions de continuité C1, et donc il faut introduire les dérivées des déplacements comme ddl.

[fig]

En utilisant les notations classiques, l'énergie de flexion d'une poutre est :


[fig]

[fig]

[fig]

Les Ni(x) sont les fonctions d'interpolations des déplacements sur l'élément réel. [Q] est le vecteur des inconnues nodales, ou ddl, sur l'élément de réel. Les fonctions Ni(r) sont celles sur l'élément de référence et [Qr] le vecteur des inconnues nodales, ou ddl, sur l'élément de référence.


[fig]

Les fonctions d'interpolation géométrique Gi sont inchangées :

[fig]

Nous allons comme dans les deux éléments précédents étudier l'énergie de déformation sur l'élément de référence . Nous allons écrire un exemples des relation permettant de calculer les fonction Ni(r)


[fig]

En résolvant ce système pour les quatre fonctions, on obtient :

[fig]

[fig];

[fig]

On peut maintenant calculer la matrice de rigidité élémentaire de l'élément de réel à partir de l'élément de référence. Il faut dans ce cas faire attention au faite que les inconnues nodales de l'élément de référence,[Qr] ne sont pas les même que celles de l'élément de réel [Q]:


[fig]

[fig]

[fig]

[fig]

[fig]

[fig]

RQ : Ces éléments sont dit de type Hermitte n Noeuds, 2n ddl, continuité C1. Les deux présentés précédemment sont de type Lagrange (n+1) Noeuds, n+1 ddl, continuité C0 Toutes les remarques faites dans le cas 1-D sont valables dans les autres cas.


6.1.4. Etude des valeurs propres.


Cette étude doit nous permettre de mettre le doigt sur la relation entre les mouvements de corps rigide et le mode de déformation à énergie nulle. Pour simplifier l'écriture du problème nous allons considérer la barre à deux noeuds.


[fig]


Les valeurs propres vérifient :



[fig]


La première valeur propre correspond au mode de déformation à énergie nulle qui correspond pour cet élément à une translation d'ensemble q1=q2.


La deuxième valeur propre correspond au mode de déformation à énergie non nulle qui correspond pour cet élément à une contraction de l'élément q1=-q2..



Comme ce sont les seuls modes propres de déformation de cet élément, toute déformation en sera une combinaison linéaire. Cet élément ne peut donc prendre en compte les rotations. Il est donc utilisable uniquement en traction compression. Ces observations rejoignent ce que nous avons dit sur cet élément. Une étude pour les autres éléments 1-D permettrai de définir les modes propres de déformation pour chacun d'entre eux.


6.2. Elément 2-D



Nous présentons succinctement ici seulement quelques éléments 2-D. Les remarques que nous avons faites dans le cas 1-D reste valable. Il existe les mêmes familles d'éléments : isoparamétrique linéaire ou non et les non isoparamétrique. Dans les bibliothèques il existe de très bons livres (Modélisation des structures par éléments finis . J.L. Batoz et G. Dhatt - Analyse des structures par éléments finis J.F. Imbert.- ...) énumérant tous les éléments ainsi que leurs matrices de rigidités.



6.2.1. Isoparamétrique linéaire.


6.2.1.1. Le triangle.


Le triangle à trois noeuds est aux éléments 2-D ce que la barre à deux noeuds aux éléments 1-D..Il est inutile d'introduire un élément de référence dans ce cas, mais il est plus avantageux d'utiliser le système de coordonnées intrinsèques d'un triangle : le système des coordonnées barycentriques. La numérotation d'un élément se fait toujours dans le sens trigonométrique positif.


[fig]

Cet élément a 6 ddl qui sont les déplacements u(x,y) et v(x,y) à chacun des noeuds. Le champ de contrainte sur cet élément est constant. Le champ de contraint est donc discontinu sur la structure discrétisée. Cette caractéristique fait que cet élément est très rigide. On utilise cet élément soit dans les régions à flaibe gradient de contraintes ou pour raccorder des maillages de taille différente.


[fig]

Raccordement de maillage.

6.2.1.2. Le quadrangle


Le quadrangle à 4 noeuds et 8ddl est un élément très souvent utilisé. Son champ de contrainte n'est plus constant. On peut également choisir entre une intégration complète ou une intégration réduite de la matrice de rigidité. On trouve cet élément dans toutes les bibliothèques d'élément des softs utilisés.



[fig]


Le quadrangle


6.2.2. Isoparamétrique non linéaire


Il existe là aussi soit le triangle à 6 ou 9 noeuds ou le quadrangle à 8 ou 12 noeuds. Ces éléments sont de bonnes qualités pour qui sait les utiliser convenablement. Il est souvent recommandé de les utiliser avec une intégration réduite. Dans un cas on a une interpolation quadratique (6-8) et dans l'autre cas une interpolation cubique. Le nombre de points de gauss ainsi que leurs positions sur l'élément sont donnés dans les documentations des logiciels.


6.2.3. Non isoparamétrique


Il y a deux familles d'éléments soit les Serendip ou les Lagrange. Les premiers ont une interpolation géométrique linéaire et quadratique ou cubique pour les déplacements avec des noeuds uniquement sur la frontière. Les seconds ont également une interpolation géométrique linéaire et quadratique ou cubique pour les déplacements mais ils possèdent des noeuds internes.






5. E.F. TECHNIQUE DE RESOLUTION




5. E.F. TECHNIQUE DE RESOLUTION





5.1. Principes généraux


On découpe une structure en élément de forme donnée : triangle, quadrilatère, tétraèdre ... Puis on cherche des solutions comme une C.L. de fonctions données sur chaque élément et non plus sur la structure complète comme Ritz ou Gallerkine. La méthode par éléments finis correspond donc à un méthode de Ritz ou Gallerkine par morceau. L'ensemble de tous les éléments constitue le Maillage.



Nous allons développer ici dans un premier temps la méthode avec une formulation en déplacement dans le cas 1-D et 2-D en élasticité linéaire isotherme.


5.2. Matrices élémentaires


5.2.1. Approximation des déplacements


Nous prenons ici une interpolation linéaire des déplacements sur chaque élément :



[fig].


(x,y) sont les cordonnées d'un point de l'élément considéré. Nous pouvons le réécrire de la façon suivante :


[fig]


5.2.2. Approximation nodale


L'approximation des déplacements à partir uniquement des coefficients des polynômes d'interpolation n'a pas de sens physique évident. Aussi pour des raisons de compréhension, on exprime les déplacements sur un élément à partir des déplacements de ces sommets, ou d'autre point de la figure, appelé Noeud. Nous allons développer un exemple avec un triangle à trois noeuds.



[fig]


Elément triangle à trois noeuds


Les déplacements, ou les inconnues, en chacun des noeuds sont appelés variable nodale, ou degré de liberté (ddl), noté [Q]:



[fig]


Nous pouvons relier ces ddl aux coefficients des polynômes d'interpolation


[fig]


noté : [fig]


en introduisant cette notation dans l'interpolation des déplacements, nous obtenons :


[fig]


5.2.3. Approximation des déformations


Dans un cadre de petites perturbations, nous avons défini les déformations en fonction des déplacements. Il suffit d'appliquer correctement les formules précédentes pour obtenir l'écriture matricielle qui d'écoule de la discrétisation. Pour des raisons de simplification d'écriture nous allons étudier un cas 2-D de déformation plane :



[fig]


[fig]


Rq : Dans le cas d'une interpolation linéaire des déplacements la matrice [B] est constante sur l'élément.


5.2.4. Approximation de l'énergie potentielle sur un élément


Nous nous plaçons dans le cas de l'élasticité en déformation plane, isotrope et sans force de volume, dans ce cas l'énergie potentielle s'écrit :



[fig]


Nous pouvons écrire la loi de comportement sous forme matricielle :


[fig]


On détermine la matrice [D] à partir de la loi de Hook dans le cas élastique isotrope linéaire.


Nous allons maintenant expliciter l'énergie de déformation sur un élément :



[fig]


[fig]


Rq : Dans le cas des interpolations linéaires l'énergie de déformation élémentaire est directement proportionnelle à la surface de l'élément considéré.


Si l'élément n'est pas en contact avec la frontière alors le travail élémentaire des efforts donnés est nul ( nous avons ici un chargement surfacique), sinon il s'écrit :



[fig]


[Q]e ne faisant intervenir ici que les variables nodales en contact avec DF.


L'énergie potentielle élémentaire peut donc s'écrire :


[fig]


5.2.5. Propriétés de la matrice de rigidité élémentaire



Propriétés:


[fig]


[fig] étant définie à partir de l'énergie de déformation interne élémentaire, qui est une forme bilinéaire positive, cela implique que [fig]est symétrique positive.



[fig]


Ces déformations à énergie nulle sont les mouvements de corps rigide. Il est facile de voir à partir de la définition de la déformation en petite perturbation et dans un cas de déformation plane la formel de ces déplacements


[fig]


Ces déplacements rigides par éléments sont inclus dans l'approximation linéaire des déplacements, et donc l'ensemble [fig]est de dimension exactement trois. Donc il y a trois valeurs propres nulles et trois positive car We est positive.



5.3. Matrices globales


On appelle matrice globale la matrice correspondant à l'assemblage de toutes les matrices élémentaires, aussi bien de rigidité que des efforts appliqués.


5.3.1. Assemblage matrice de rigidité


L'énergie de déformation totale de la structure est égale à la somme de toutes les énergies de déformation élémentaires. Ce qui s'écrit sous forme matricielle :



[fig]


[fig]: est la matrice de rigidité globale.


[Q] : est le vecteur contenant tous les ddl du problème


Exemple d'assemblage pour une structure simple :


Prenons une structure composée de deux éléments barres ayant 1ddl ui par noeuds :



[fig]


L'énergie de déformation élémentaire à la forme suivante :


[fig]


où :


[fig]


et



[fig]


Pour obtenir la matrice de rigidité globale, il suffit d'assembler ces deux matrices de la façon suivante :


[fig]


De part la méthode d'assemblage la matrice K conserve sa symétrie et est strictement définie positive s'il n'existe pas de déplacements rigides.


5.3.2. Assemblage du vecteur des forces appliquées


Dans le cas où il n'existe pas de force volumique, nous avons montré que le travail des efforts appliqués, qui est une fonction linéaire en [Q]e, s'écrit :



[fig]


Il suffit d'assembler les matrices correspondantes. Dans l'exemple que nous traîtons avec deux éléments cela donne :


[fig]


5.3.3. Variation de l'énergie potentielle


Nous venons de décrire les différentes matrices nécessaire à l'écriture de l'énergie potentielle. Nous calculer maintenant la variation de l'énergie potentielle totale, qui nous donnera la solution du Pb(I) :



[fig]


l'énergie potentielle total est donnée par :


[fig]


[fig]


Nous obtenons donc le système linéaire suivant à résoudre :


[fig]


C'est ce système que résout un code de calcul d'éléments finis dans le cas de l'élasticité linéaire. Donc en optimisant le maillage, vous réduisez la taille du système à résoudre et donc vous gagnez du temps calcul !!!!.Mais avant de lancer votre calcul il faut introduire les conditions aux limites qui auront pour objet d'éliminer les mouvements de corps rigide. Si vous ne bloquez pas suffisamment de ddl le système n'a pas de solution unique et le calcul plante.



5.3.4. Prise en compte des conditions aux limites.


Nous présentons ici les différents méthodes de prise en compte des condition aux limites en déplacements.


5.3.4.1. Méthode brutale


C'est la méthode la plus simple sur le plan de la conception mais la plus complexe à mettre en oeuvre numériquement. Nous allons imposer qi =qd qui est le ième ddl ( qd peut être nul). Avant la prise en compte des C.L. le système s'écrit :


[fig]


Nous allons introduire qi =qd dans l'écriture matricielle :


[fig]


[fig]


Il faut donc, pour appliquer cette méthode, modifier la matrice de rigidité sur toute une colonne et toute une ligne, en les remplissants de zéro et la ième coordonnée du second membre. Cette méthode nécessite (n-1)2.+1 opérations et à pour conséquence d'augmenter considérablement la largeur de bande de la matrice. Cela réduit la performance des algorithmes de résolution des systèmes linéaires. Cette méthode n'est pas utilisée dans la pratique.



5.3.4.2. Méthode de pénalisation


Cette méthode est basée en gros sur le même principe mais, plutôt que de trouver un solution exacte on va prendre une solution approchée de très bonne précision. Il suffit de pénaliser le coefficient kii par un terme très grand devant ceux de la matrice de rigidité et d'ajouter à la ième cordonnée du second membre un terme:


[fig]


Avec cette méthode on obtient :


[fig]


Cette méthode est plus efficace que la méthode brutale, car elle comporte uniquement deux changements dans les matrices et ne modifie pas la largeur de bande. Cette méthode est souvent utilisée dans les codes de calcul.


5.3.4.3. Méthode Lagrangienne


Cette méthode est la plus élégante car elle consiste à relaxer les conditions aux limites et à introduire de nouvelles variables. Supposons que nous avons r conditions aux limites et n d.d.l. Ces relations peuvent s'écrire sous forme matricielle de la façon suivante :


[fig]


Il faut donc introduire r multiplicateur de Lagrange, que l'on écrit sous forme vectoriel :


[fig]


Nous avons donc n+r inconnues dans le nouveau problème qui s'écrit sous la forme :.


[fig]


qui en calculant la variation de la fonctionnelle devient :



[fig][fig][fig]


L'inconvénient principal est d'avoir introduit des inconnues supplémentaires. Montrons sur un exemple simple la mise en pla ce de cette méthode.


Exemple :


[fig]


Dans cet exemple simple cela donne:


[R]=[1 0], [fig], [S]=ud



et donc le système à résoudre est :


[fig]


Dans ce cas le multiplicateur de Lagrange que nous avons introduit correspond à la force de réaction en 1.


5.4. Approximation conforme


Pb : A quelles conditions peut on affirmer que :


[fig]



Considérons le cas 1-D pour y voir plus claire . L'énergie de déformation d'une poutre en flexion est :


[fig]


Il faut donc que v(x) soit deux fois intégrables sur l'élément. M(x) et M'(x) sont continus s'il n'existe pas d'efforts ou de moments ponctuels aux extrémités. Maintenant assemblons deux éléments, et donc leurs énergies de déformation:



[fig]


en regroupant les termes de raccord, on observe que :


[fig]


Il est claire que si v(x) et v'(x) ne sont pas continue il y a stockage d'une énergie finie à chaque raccord qui peut être assimilée à une rotule.


On demande donc que v(x) soit deux fois intégrables sur l'élément et seulement qu'elle soit à dérivée continue aux extrémités



Def : Un élément vérifiant ces propriétés de continuité est dit conforme.


Rq : Dans le cas d'énergie dépendant d'un gradient, élasticité, il suffit que u(x) soit continue.