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Mathematique

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Preuve La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel

Preuve La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel :





Ensembles de nombres

1.1 Ensembles des nombres
Vous avez rencontré jusqu`a présent différents types de nombres : d’abord les entiers, ou entiers naturels, dés la petite enfance, puis au collége les entiers relatifs et les rationnels. Vous avez noté l’ensemble des entiers, celui des entiers relatifs, et celui des rationnels. En identifiant les entiers naturels aux entiers relatifs positifs, vous avez ´ecrit puis en identifiant les entiers relatifs aux fractions rationnelles dont le d´enominateur est 1, vous avez aussi ´ecrit :
Dans vous savez faire des additions et des soustractions, des multiplications et des divisions.
Vous savez aussi comparer deux nombres rationnels quelconques.
ça n’est pas tout.Vous avez rencontré et on vous a dit qu’il ne s’agit pas de nombres rationnels. Vous avez alors admis l’existence d’un ensemble de nombre noté ,dit ensemble
des nombres réels, tel que et dans lequel vous pouvez faire additions, soustractions,
multiplications et divisions, et aussi comparer deux nombres réels quelconques.
Dans ce premier chapitre, on veut d’abord faire le point sur les règles qui r´egissent la manipulation des nombres réels. On veut aussi mettre l’accent sur une propriété essentielle de, qui n’est pas vraie dans l’ensemble des rationnels, et dont on va déduire la plupart des résultats de ce cours : la propriété de la borne supérieure.
Pour commencer, il est temps de montrer la :
Proposition :Il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2. Autrement dit √2 n’est pas un rationnel.
Au passage, il est important de s’interroger sur ce que signifie cette ”preuve”, ou plus précisément sur ce que l’on entend en mathématique lorsque l’on parle de ” démonstration” :à partir de propriétés déjà établies (des théorèmes) et de notions déjà définies, on déduit une nouvelle propriété en utilisant les règles de la logique mathématique. Ici par exemple, on a utilisé les notions de fraction irréductible et de nombre pair, on a utilisé la propriété ”siest pair alors n est pair”. . . Dans ce ”jeu de construction” que sont les mathématiques, il faut bien sur avoir un socle : c’est le rôle de ce que l’on nomme axiomes. Un axiome est un énoncé mathématique admis une fois pour toutes, et qui n’a pas pour vocation d’être démontré. Vous avez par exemple certainement entendu parler des axiomes d’Euclide, qui fondent la géométrie euclidienne, dont le célèbre ”par un point passe une et une seule droite parallèle `a une droite donnée”. La démarche mathématique telle que l’on vient de l’esquisser peut paraitre fastidieuse. Mais il faut avoir en tète l’une des septicités importantes des mathématiques par rapport aux autres sciences : une fois que vous avez démontré un théorème, celui-ci est vrai pour l’´eternité !
Au niveau ou se situe ce cours, on va voir affleurer quelques axiomes de l’analyse concernant les nombres réels : les théorèmes que nous ´établirons ensuite reposeront parfois directement sur ce socle. La propriété de la borne supérieure évoquée plus haut est l’un de ces axiomes.

Examens corrigés analyse 1


Contrôles et examens Analyse 1:

Solutions des Exercices corrigés recherche opérationnelle





Exercices corrigés recherche opérationnelle



Méthode du Simplexe                              Voir solutions des exercices

S1)      Ecrivez le problème PL suivant sous forme standard avec des M.d.D. non négatifs:s:

           
                        Max z = 2x1 + 3 x2  + 5 x3
            

           
                                                                            Voir la suites des exercices

Exercices corrigés recherche opérationnelle




Méthode du Simplexe                              Voir solutions des exercices

S1)      Ecrivez le problème PL suivant sous forme standard avec des M.d.D. non                                   négatifs:s:

           
                        Max z = 2x1 + 3 x2  + 5 x3
            
           

Les Turbines Hydrauliques (ex:Barrages)


Introduction
Actuellement dans le monde, les êtres humains consomment de plus en plus d’énergie. En effet l’énergie est le moteur de l’ensemble de notre système de production, et par conséquent, un enjeu économique de la plus grande importance. Une partie importante de cette énergie est consommée sous forme d’électricité, en effet, il ne se passe pas un jour sans que nous n’utilisions l’énergie électrique : les appareils fonctionnant à base d’électricité sont de plus en plus nombreux. L’électricité peut être fabriquée de différentes façons. Par exemple, des centrales électriques utilisent les énergies fossiles telles le gaz, le charbon ou le pétrole. Ces centrales sont appelées centrales thermiques. L’énergie nucléaire est également utilisée, de même que les énergies renouvelables comme le vent, le soleil ou l’action de l’eau. .........lire la suite

Cours Cotation fonctionnelle

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Cotation fonctionnelle        
I.             RAPPEL :
                Etant donné l’imprécision des procédés de fabrication (fraisage, tournage …), on tolère que les cotes réalisées, en théorie égales à la cote nominale, soient comprises entre une cote Maximale et une cote minimale.


 


II.           NECESSITE DE LA COTATION FONCTIONNELLE :
            Un mécanisme est constitué de différentes pièces. Pour que ce mécanisme fonctionne, des conditions fonctionnelles doivent être assurées : Jeu, serrage, retrait, dépassement …
            Ces conditions fonctionnelles sont susceptibles d’être modifiées en fonction des dimensions de certaines pièces.
            La cotation fonctionnelle permet de rechercher les cotes fonctionnelles à respecter afin que les conditions fonctionnelles soient assurées.
 * Remarque : Les cotes fonctionnelles déterminées sont ensuite inscrites sur le dessin de définition de chaque pièce.

III.          VOCABULAIRE :
            Afin d’illustrer la suite des explications, nous prendrons un exemple simple : Une allumette dans sa boîte.
 


III.1.           COTE-CONDITION (CC):
·         Condition : Pour que l’allumette puisse être placée dans la boîte, il faut qu’il y ait un jeu entre l’allumette et la boîte.
La cote-condition (CC) sera représentée sur le dessin par : Un vecteur à double trait, orienté POSITIVEMENT de la façon suivante :



III.2.           Surfaces Terminales :
            Les surfaces auxquelles se rattachent une cote-condition (ex. :      ), sont des SURFACES TERMINALES.
* Attention ! : Les surfaces terminales sont perpendiculaires à la direction de la cote-condition.



III.3.           Surfaces de liaison :
          Les surfaces de  contact entre les pièces, assurant la cote-condition (ex. : ), sont des SURFACES DE LIAISON.
* Attention ! : Les surfaces de liaison sont perpendiculaires à la direction de la cote-condition.



IV.          CHAINES DE COTES :
            La cote-condition et les cotes fonctionnelles associées sont représentées dans une chaîne appelée CHAINE DE COTES (boucle fermée). C’est une somme de vecteurs.

IV.1.            Méthodes d’établissement d’une chaine de cotes :


 



1)    Dessiner la cote condition (si ce n’est déjà fait) :
-    Représenter le corps du vecteur par 2 traits fins parallèles
-   Orienter le vecteur cote-condition dans le sens positif, pour cela :
-          Dessiner le point origine du vecteur cote-condition
-          Dessiner la flèche d’extrémité du vecteur cote-condition
-   Nommer la cote-condition


2)    Repérer les surfaces terminales et les surfaces de liaison (ou de contact) :
-   Pour notre exemple, les surfaces terminales sont : T1 et T2 et la surface de liaison est : 2/1
* Attention ! : Ces surfaces doivent être perpendiculaires à la direction de la cote-condition.

3)    Coter la première pièce :
Partir toujours de l’origine du vecteur cote-condition. Dans notre exemple, l’origine touche la pièce 1, surface terminale T1.
-   Coter cette pièce jusqu’à la surface de liaison en contact avec une autre pièce.
-   Nommer la cote fonctionnelle obtenue de la façon suivante : 
 



 

IV.2.            Règles à respecter :
·        Les cotes sont positives dans le sens du vecteur cote-condition et négatives dans le sens opposé
·        Il n’y a qu’une seule cote par pièce dans une chaîne de cote
·        Une cote relie toujours deux surfaces d’une même pièce
·        L’origine du premier vecteur est confondu avec l’origine du vecteur cote-condition (le point)
·        L’extrémité du dernier vecteur est confondue avec l’extrémité du vecteur cote-condition (la flèche).


IV.3.            Equation de projection et calcul :

          



1-  Equation de projection :
Les cotes sont positives dans le sens du vecteur cote-condition et négative  dans le sens opposé.
La cote-condition = somme des cotes positives - la somme des cotes négatives.
-   Ecriture de  l’équation de la cote-condition     : a = a1 – a2

2-  Jeu Max (J Max) :
Le jeu de la cote-condition est maximal quand les dimensions des vecteurs positifs sont maximales et les dimensions des vecteurs négatifs sont minimales.
-   Calculer a max :       a max = a1 max – a2 min
a max = 70,5 – 54,2 = 16,3 mm

3- Jeu min (J min) :
Le jeu de la cote-condition est minimal quand les dimensions des vecteurs positifs sont minimales et les dimensions des vecteurs négatifs sont maximales.
-   Calculer a min :        a min = a1 min – a2 max
a max = 70 – 55,8 = 14,2 mm

4- Intervalle de tolerance du jeu (IT J) :
-   Désigner l’IT du jeu :     IT a
-   Calculer l’IT du jeu :      IT a = a max – a min                     IT a = 2,1 mm
Ou
                                                               IT a = IT a1 + IT a2                  IT a = 0,5 + 1,6 = 2,1mm