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Définitions, exemples ( Majorant, minorant, borne inférieure, borne supérieure )



Définition 1 Soit A une partie non-vide de lR, et m un nombre réel. On dit que
1. m est un majorant de A lorsque a ≤ m pour tout a A.
2. m est un minorant de A lorsque m ≤ a pour tout a A.


Par exemple 0 est un minorant de lN. D’ailleurs n’importe quel réel plus petit qu’un minorant de A est encore un minorant de A. On remarque aussi que puisque 0 lN, 0 est le plus grand des minorants de lN (. . . n’importe quel nombre réel supérieur strictement `a 0 ne serait pas plus petit que tous les éléments de lN).
Il est surement clair pour vous que l’ensemble lN n’a pas de majorant dans lR. . . pourtant cela ne découle pas des propriétés de R énoncées jusqu’`a présent (cf. le paragraphe suivant).


Définition 2 Soit A une partie non-vide de lR, et b un nombre réel. On dit que
1. b est la borne supérieure de A lorsque b est le plus petit des majorants de A.
2. b est la borne inférieure de A lorsque b est le plus grand des minorants de A.

On a vu par exemple que 0 est la borne inférieure de lN dans lR. Voci d’autres exemples : si     A =]0, 2], 0 est un minorant de A, et 2 est un majorant de A. Puisque 2 est un élément de A, c’est nécessairement le plus petit des majorants, donc la borne supérieure de A, ce qu’on note :
2 = sup ]0, 2].
Il n’est pas aussi évident que 0 soit la borne inférieure de A =]0, 2]. Supposons qu’il existe un minorant de A, qu’on note m, qui soit strictement plus grand que 0. Puisque m > 0, on a                aussi m > m/2 > 0 donc m/2 A et m/2 est inférieur ` m, ce qui est absurde puisque m est un minorant de A. Donc 0 est bien le plus grand des minorants de A : 0 = inf ]0, 2].

Proposition 3 Soit A une partie non-vide de lR, et b un réel. Les deux énoncés suivants sont équivalents
1. b est la borne supérieure de A.
2. b est un majorant de A et, pour tout > 0, il existe au moins un élément de A dans l’intervalle [b − , b].


Preuve: Si b est la borne supérieure de A, c’est un majorant de A, et pour tout > 0,
b − n’est pas un majorant de A : il existe un élément x de A qui est supérieur ` b − .
Puisque b est un majorant de A, on a aussi x ≤ b, donc x [b − , b].
Réciproquement, si (2) est vraie, alors b est bien le plus petit des majorants de A.
Bien entendu, si A n’admet pas de majorant, A n’a pas non plus de borne supérieure. Voilà` maintenant la différence essentielle entre Q et lR : dans lR, c’est le seul cas ou une partie
(non-vide) de R n’a pas de borne supérieure.