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SYSTÈMES LOGIQUES ET NUMÉRIQUES L’ALGÈBRE DE BOOLE

Systèmes logiques et numériques L’algèbre de Boole




1.Présentation



L'algèbre de Boole est un outil mathématique permettant la description, l'analyse et la conception de circuits logiques et numériquesCes circuits représentent l'évolution de la commande d'actionneurs de type logiques (Tout Ou Rien) ou numériques  ,en fonction des divers ordres et consignes fournis par un utilisateur ou des capteurs industriels.

L'état des sorties de circuits logiques COMBINATOIRES ne dépend que de l'état des entrées et non pas des différents événements et états ayant pu apparaître auparavant.



L’algèbre de BOOLE ou algèbre binaire définit deux états logiques : vrai ou faux notés 0 et 1, chiffres qui n’ont aucun caractère numérique.



Par exemple :
     -      l’eau coule du robinet : le robinet est à l’état 1 ;
     -     l’eau ne coule plus du robinet : le robinet est à l’état 0.  

2. Éléments de base


L'algèbre de Boole utilise, dans sa symbolisation, des constantes, des variables et des opérateurs.


2.1 Les constantes


Les constantes sont les différentes valeurs que peuvent prendre les variables. Il n'existe que deux niveaux logiques élémentaires: niveau bas et niveau haut, symbolisés respectivement par 0 et 1.



2.2 Les variables logiques


Elles correspondent à une entrée, une sortie ou une variable intermédiaire dans un circuit numérique. Elles peuvent être symbolisées par des lettres: S, A, B, C, L, ... Chacune de ces variables est à tout moment égale à 0 ou bien égale à 1.



2.3 Les opérateurs logiques


Ils sont d'un nombre limité par le fait que chaque variable ne peut prendre que deux états :

-   l'addition logique, Opérateur OU, symbolisé par  « + »

-   la multiplication logique, Opérateur ET, symbolisé par « . »


-         la complémentation ou inversion logique, Opérateur NON, symbolisé par « ».

Les états logiques peuvent se traduire par des équations logiques : la somme, le produit, la négation, les exposants et les coefficients n’existent pas.



Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, le point du produit n’est pas nécessaire : S= a.b.c peut s’écrire S= abc et se lit : S est allumé si les contacts a et b et c sont fermés.


3. Les opérations fondamentales

3.1 Les opérateurs (portes) logiques




Dans le cadre de la commande en logique combinatoire on va exprimer la commande de chacune des sorties en fonction uniquement des entrées. Pour cela, on établit une fonction logique entre chacune des sorties en fonction de toutes les entrées.

Pour établir ces fonctions logiques on utilisera la table de vérité. Elle consiste en un tableau de correspondance qui permet de considérer toutes les combinaisons possibles des entrées d'une manière systématique

·      Table de vérité :

Une table de vérité est la représentation de l’évolution du comportement d’un système automatisé en fonction des variations de ses entrées. Chacune des variables est représentée sous une écriture binaire. Une table de vérité s'utilise principalement en logique combinatoire. Elle est représentée sous la forme suivante :



Puis, à partir de ces tables les fonctions logiques seront écrites à l’aide de l’algèbre de Boole qui est basé sur trois opérations fondamentales appelées le « ET », le « OU » et le « NON ».

L’intérêt de l’algèbre de Boole est de permettre la manipulation des équations logiques en toute rigueur. Finalement, les équations peuvent être transcrites en logigramme ou en diagramme en échelle pour être programmées dans un API.

a) L'opérateur OUI ou opérateur égalité
- Symbole logique :



- Schéma à contacts :
- Table de vérité :
- Équation logique :
                          L = a
                        Se lit l'état de L est égal à l'état de a.

b) L'opérateur NON ou opérateur négation

         - Symbole logique :


            - Description logique :



La sortie est à l’état 0 si et seulement si l’entrée est à l’état 1
                       

            - Schéma à contacts :
 


              - Table de vérité :
 

              - Équation logique :

                          
                        Se lit l'état de L est égal au complémentaire de a ou   L = a barre.

c) L'opérateur ET ou opérateur produit logique

               - Symbole logique :




               - Description logique :


La sortie est à l’état 1 si et seulement si toutes les entrées sont à l’état 1


            - Schéma à contacts :

            - Table de vérité :


                - Équation logique :
                               
                               

                                           L = a . b




                                     Se lit L = a ET b



d) L'opérateur OU ou opérateur somme logique


            - Symbole logique :




              
- Description logique :


La sortie est à l’état 1 si et seulement si l’une au moins des entrées est à l’état 1


            - Schéma à contacts :

            - Table de vérité :


             - Équation logique :

                  L = a + b


                        Se lit L = a OU b



e) L'opérateur ET NON ou opérateur NAND


            - Symbole logique :



            - Description logique :


La sortie est à l’état 0 si et seulement si toutes les entrées sont à l’état 1


           - Schéma à contacts :


           - Table de vérité :



           - Équation logique :


Se lit L = ( a ET b ) barre


f) L'opérateur OU NON ou opérateur NOR


           - Symbole logique :



           - Description logique :

La sortie est à l’état 0 si et seulement si l’une au moins des entrées est à l’état 1

- Schéma à contacts :
 




             - Table de vérité :


        - Équation logique :


Se lit L = ( a OU b ) barre



g) L'opérateur INHIBITION


            - Symbole logique :




            - Description logique :

La sortie est à l’état 1 si et seulement si l’entrée “ a ” est à 1 ET

l’entrée “ b ” est à 0.

- Schéma à contacts :
 




            - Table de vérité :



           - Équation logique :
 

                                                             Se lit L = a ET (b barre)

Représentation graphique des fonctions logiques


 


·  Logigramme




Un logigramme est un schéma représentant une succession de symboles logiques permettant d’obtenir par combinaison de variables d’entrées la sortie recherchée. Attention, les fonctions logiques sont des opérateurs logiques et non des opérateurs mathématiques. Le résultat obtenu sera un résultat logique et non un résultat mathématique.


Symboles normalisés :


Exemple : 







·  Schéma contact 

L’équation logique est modélisée par un câblage électrique. Les variables d’entrées sont représentées par des contacts normalement ouverts (OUI) ou normalement fermés (NON) et la variable de sortie par un relais ou une lampe. Le type de liaison entre les contacts permet de simuler les opérateurs logiques :

  • un opérateur ET se représente par deux contacts en série.
  • un opérateur OU se représente par deux contacts en parallèle.

Exemple : 




·  Ladder diagram (réseau à contact)


En technologie programmée, le langage graphique normalisé est le Ladder ou langage à réseau de contacts. Le principe de modélisation reprend celui du schéma à contact (câblage de contact symbolisant les variables) avec une représentation particulière des contacts ainsi que des sorties.



Exemple :  




· Relations caractéristiques de la logique booléenne


1)     Identités logiques fondamentales


0 est l'élément neutre de la somme logique


0 est l'élément absorbant du produit logique

1 est l'élément absorbant de la somme logique  
1 est l'élément neutre du produit logique
C'est la propriété d'indempotence 
 
    C'est la propriété d'indempotence


C'est la loi de complémentation

C'est la loi de complémentation

2) Propriétés de l'algèbre de Boole

- pas de coefficient :
            a + a + a + a + ....... + a = a

- pas d'exposant :
            a . a . a . a . ....... . a = a

- commutativité :
            a + b = b + a
            a . b = b . a

- distributivité :
            a . ( b + c ) = a . b + a . c

- associativité :
            a . ( b . c ) = ( a . b ) . c
            a + ( b + c ) = ( a + b ) + c


3) Théorème de De Morgan
           
            Compléter la table de vérité suivante :


D'après les résultats de cette table de vérité on s'aperçoit que :

 

Simplification des équations logiques


Les propriétés précédentes permettent des équations simplifiées du comportement des systèmes.


Exercice
Simplifier les expressions suivantes :

 
Établir le logigramme de la fonction:

· Rechercher  l’expression algébrique de la fonction représentée par le logigramme de la figure ci-dessous.
En lisant de gauche à droite, on obtient l’expression