Introduction ( Equations différentielles )
La modélisation mathématique des phénomènes du monde réel passe très souvent par l’écriture d’une équation différentielle, qui décrit les variations de la quantité que l’on veut étudier en fonction d’un paramètre. C’est encore une fois Isaac Newton qui a le premier écrit et étudié des équations différentielles. Son principe fondamental de la dynamique s’écrit par exemple
où t → x(t) décrit la trajectoire du centre de gravité d’un objet de masse m, soumis au champ de force x → F(x). Il est d’ailleurs clair que pour connaître la position x(t) de l’objet à l’instant t, il faut connaître non seulement la règle qui gouverne les variations de cette fonction, mais aussi la position et la vitesse initiale du centre de masse. Dans le cas d’un objet se déplaçant verticalement sous l’action de l’attraction terrestre, supposée constante dans la région où le mouvement à lieu, et compte tenu de la résistance de l’air, l’équation différentielle ci-dessus s’écrit
Où k, g sont des constantes. Un autre exemple célèbre est celui du pendule : une masse m est suspendue à l’extremité d’une corde de longueur ` dont l’autre extrémité est fixe. L’angle θ(t) que fait, à l’instant t, le fil avec la verticale vérifie la relation
Cette équation n’a pas de solution que l’on puisse exprimer simplement avec des fonctions connues. Il faut avoir à l’esprit que c’est le cas de la plupart des équations différentielles, même si les exercices proposés aux étudiants consistent souvent à trouver une solution explicite - c’est plus facile ! L’étude qualitative d’une équation différentielle consiste à décrire certaines propriétés des solutions sans les calculer, mais nous ne pratiquerons pas ce sport ici.
On trouve des équations différentielles dans tous les domaines de la physique. Par exemple la charge électrique q(t) d’un condensateur dans un circuit RLC (résistance-bobine-condensateur), alimentée par une source de courant alternatif, doit vérifier l’équation
La biologie est aussi une source importante d’équations différentielles. La modélisation des systèmes prédateurs-proies, due à Volterra, est particulièrement éclairante. Au niveau de ce cours, on peut aussi penser à l’évolution d’une population de bactéries : on peut être amené à penser que le taux de croissance de leur nombre est proportionnel à ce nombre. Celui-ci est alors décrit par l’équation différentielle
Où k est une constante, que l’on pourra ajuster de sorte que la solution de l’équation coïncide au mieux avec les données expérimentales.
Signalons enfin que les mathématiques elles-mêmes peuvent être source d’équations différentielles. Si l’on cherche les fonctions dérivables y telles que y(a + b) = y(a)y(b) pour tous réels
a, b, on arrive très vite à l’équation y’= ky où k = y’(0). Il est d’ailleurs important de noter
que résoudre l’équation
C’est trouver les courbes (x, y(x)) dont le vecteur tangent au point d’abscisse x est (1, f(x, y(x))).
Il est temps de préciser ce qu’on entend par “résoudre une équation différentielle”. On l’écrit pour les équations d’ordre 1.
Définition: Une équation différentielle d’ordre 1 s’écrit
Où F est une fonction continue sur I × U, I et U étant deux intervalles de R. On dit que le couple (J, y), constitué d’un intervalle J ⊂ I et d’une fonction y définie, continue et dérivable sur J, est une solution de l’équation lorsque
1. pour tout t ∈ J, on a y(t) ∈ U.
2. pour tout t ∈ J, on a y’(t) = F(t, y’(t)).
On est bien sûr obliger de vérifier la condition (1) pour que la condition (2) ait un sens.
On verra des plus loin des exemples où il n’existe pas de solution pour lesquelles J = I.
Autrement dit, en général, même si la fonction F est “gentille” sur lR × lR, on ne peut pas espérer avoir de solution de l’équation (ED1) sur R tout entier.
Pour fixer les idées, on va étudier un type particulier d’équations différentielles, les équations linéaires. Dans le cas des équations d’ordre 1, on peut écrire les solutions à partir de fonctions que vous connaissez. C’est aussi le cas pour les équations d’ordre 2 à coefficients constants, mais on rappelle encore une fois que ce n’est pas le cas en général.
mx’’(t) = F(x(t)),
où t → x(t) décrit la trajectoire du centre de gravité d’un objet de masse m, soumis au champ de force x → F(x). Il est d’ailleurs clair que pour connaître la position x(t) de l’objet à l’instant t, il faut connaître non seulement la règle qui gouverne les variations de cette fonction, mais aussi la position et la vitesse initiale du centre de masse. Dans le cas d’un objet se déplaçant verticalement sous l’action de l’attraction terrestre, supposée constante dans la région où le mouvement à lieu, et compte tenu de la résistance de l’air, l’équation différentielle ci-dessus s’écrit
mx’’(t) = −kx’(t) + mg,
Où k, g sont des constantes. Un autre exemple célèbre est celui du pendule : une masse m est suspendue à l’extremité d’une corde de longueur ` dont l’autre extrémité est fixe. L’angle θ(t) que fait, à l’instant t, le fil avec la verticale vérifie la relation
Cette équation n’a pas de solution que l’on puisse exprimer simplement avec des fonctions connues. Il faut avoir à l’esprit que c’est le cas de la plupart des équations différentielles, même si les exercices proposés aux étudiants consistent souvent à trouver une solution explicite - c’est plus facile ! L’étude qualitative d’une équation différentielle consiste à décrire certaines propriétés des solutions sans les calculer, mais nous ne pratiquerons pas ce sport ici.
On trouve des équations différentielles dans tous les domaines de la physique. Par exemple la charge électrique q(t) d’un condensateur dans un circuit RLC (résistance-bobine-condensateur), alimentée par une source de courant alternatif, doit vérifier l’équation
La biologie est aussi une source importante d’équations différentielles. La modélisation des systèmes prédateurs-proies, due à Volterra, est particulièrement éclairante. Au niveau de ce cours, on peut aussi penser à l’évolution d’une population de bactéries : on peut être amené à penser que le taux de croissance de leur nombre est proportionnel à ce nombre. Celui-ci est alors décrit par l’équation différentielle
N’(t) = kN(t),
Où k est une constante, que l’on pourra ajuster de sorte que la solution de l’équation coïncide au mieux avec les données expérimentales.
Signalons enfin que les mathématiques elles-mêmes peuvent être source d’équations différentielles. Si l’on cherche les fonctions dérivables y telles que y(a + b) = y(a)y(b) pour tous réels
a, b, on arrive très vite à l’équation y’= ky où k = y’(0). Il est d’ailleurs important de noter
que résoudre l’équation
y’= f(x, y),
C’est trouver les courbes (x, y(x)) dont le vecteur tangent au point d’abscisse x est (1, f(x, y(x))).
Il est temps de préciser ce qu’on entend par “résoudre une équation différentielle”. On l’écrit pour les équations d’ordre 1.
Définition: Une équation différentielle d’ordre 1 s’écrit
(ED1) y’= F(t, y),
Où F est une fonction continue sur I × U, I et U étant deux intervalles de R. On dit que le couple (J, y), constitué d’un intervalle J ⊂ I et d’une fonction y définie, continue et dérivable sur J, est une solution de l’équation lorsque
1. pour tout t ∈ J, on a y(t) ∈ U.
2. pour tout t ∈ J, on a y’(t) = F(t, y’(t)).
On est bien sûr obliger de vérifier la condition (1) pour que la condition (2) ait un sens.
On verra des plus loin des exemples où il n’existe pas de solution pour lesquelles J = I.
Autrement dit, en général, même si la fonction F est “gentille” sur lR × lR, on ne peut pas espérer avoir de solution de l’équation (ED1) sur R tout entier.
Pour fixer les idées, on va étudier un type particulier d’équations différentielles, les équations linéaires. Dans le cas des équations d’ordre 1, on peut écrire les solutions à partir de fonctions que vous connaissez. C’est aussi le cas pour les équations d’ordre 2 à coefficients constants, mais on rappelle encore une fois que ce n’est pas le cas en général.