La solution d'Exercice ondes et vibrations :Espace de phase

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1)Les deux méthodes :

-Nous savons que pour un oscillateur harmonique simple,

 

 L'équation pour une ellipse est :

où a et b sont des demi-grands axes et demi-petit.

Rappelons l'identité trigonométrique simple sur l'unité du cercle,

pour tout y. Nous pouvons écrire cette  identité trig en termes de notre x (t) et dx/dt (t):

est une ellipse avec a=A et b=Aω  .

 

- Nous savons que les équations qui décrivent la la position et la vitesse d'un oscillateur harmonique non amortie en fonction du temps. Nous voulons résoudre des équations pour le temps et le incluer dans l'autre pour obtenir la position et la vitesse dans la même équation. Ensuite, nous allons réorganiser l'équation (espérons-le) pour ressembler à une ellipse. D'abord, nous résolvons x (t) (voir ci-dessus) pour un oscillateur harmonique dans le temps.

Maintenant, nous incluons ce résultat dans l'équation de la vitesse.

Utilisez l'identité trigonométrie (ou dessiner des triangles)

donc 

ce qui résulte en une ellipse.

 

2) Pour les conditions initiales

notamment ellipse:

 Ceci est représentée ci-dessous:

3)Pour un oscillateur amorti, x et dx/dt? diminuer les deux , à la fois pour finalement devenir zéro. Ceci est représentée ci-dessous:

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